Národní shromáždění československé / Poslanecká sněmovna1920 – 1925

d) Odvození základních čísel a pojistně-matematických hodnot.

Z čísel l^aa_x, l_x, sⁱ_(x)+k lze odvoditi ihned pojistné hodnoty všech druhů nároků na invalidní a starobní důchod.

Základní čísla pro výpočet hodnoty aktivního důchodu byla počítána obvyklým způsobem:

D^aa_x = l^aa_x v^x

N^aa_x = D^aa_x + D^aa_x+1 +... + D^aa_z = E D^aa_x,

kde značí nejvyšší stáří, vyskytující se v řádu aktivnosti a označení E D^aa_x, značí součet hodnot D^aa_x od stáří x až do konce tabulky; z toho stanoveno

a^aa_x = N^aa_x/D^aa_x,

které značí kapitálovou hodnotu aktivitního důchodu, vypláceného ročně ve výši "1" osobě aktivní, pokud jest aktivní. Ježto však osnova předpisuje vyplácení důchodu v měsíčních lhůtách a odvádění pojistného v týdenních splátkách, bylo nutno hodnoty důchodů ročně vyplácených opraviti obvyklými korekcemi d. Tyto korekce stanoveny podle vzorce

d_m = ¹⁺ⁱ/_m E^m-1_k=1 ^k/_m+ki

tak, že pro výplaty měsíční vyplývá d₁₂ = 0,4648 a pro výplaty týdenní 8₅₂ = 0,4969. Podle toho jest

a^aa(12)_x = a^aa_x - 0,4648

a^aa(52)_x = a^aa_x - 0,4969

a stejným způsobem

N^aa(12)_x = N^aa_x - 0,4648 D^aa_x

N^aa(52)_x = N^aa_x - 0,4969 D^aa_x

Hodnoty jednotkového důchodu aktivitního pro výplaty měsíční a týdenní jsou pak

a^aa(12)_x = N^aa(12)_x/D^aa_x

a^aa(52)_x = N^aa(52)/D^aa_x

Za předpokladu, že starobní důchod napadá bezpodmínečně ve věku 65 let, jest

a^aa(52)/65-x_x = 1/D^aa_x (N^aa(52)_x - N^aa(52)₆₅)

a podobně hodnota nároku osoby x-leté na důchod starobní, bezpodmínečně příslušející v 65. roce, vyplácený měsíčně ve výši "1" ročně

65-x a^aa(12)_x = N^aa(12)₆₅/D^aa_x

Pro stanovení hodnoty stoupání starobního důchodu bylo užito vzorce

(66 - x)_65-x a^aa(12)_x = (66 - x) ^Naa(12)₆₅/D^aa_x

Pro určení hodnoty nároku na invalidní důchod jest nutno stanoviti nejprve kapitálovou hodnotu aⁱ_(x), tj. hodnotu důchodu vypláceného ročně ve výši "1" osobě invalidní, jejíž stáří při nápadu důchodu bylo x, po dobu invalidity.

Výpočet lze provésti dvojím způsobem, a sice takto:

1. Ježto se jedná o důchod vázaný na stav invalidnosti, nutno užíti pravděpodobností výluky z požitku invalidního důchodu sⁱ_(x)+k. Pro k > 10 byla ultimátní tabulka důchodová aⁱ_x vypočtena rekurentně z hodnoty

aⁱ₁₀₁ = 1

a to ze vztahu

aⁱ_x = 1 + v (1 - sⁱ_x) aⁱ_x + 1

Pro k < 10, pro něž s_(x)+k závisí vedle stáří x také na k, počítáno a_(x)+k rekurentním postupem z rovnic

a_(x)+10 = 1 + v (1 - sⁱ_(x)+10) a_[x]+11

a_(x)+k = 1 v (1 - s_(x)+k) aⁱ_(x)+k+1

aⁱ_(x) = 1 + v (1 - sⁱ_(x)) aⁱ_(x)+1

2. Druhý postup je dán nutností znáti pro výpočet základních čísel pojištění pozůstalých čísla lⁱ_(x)+k, jež udávají počet invalidů x + k letých, kteří zůstali na živu a invalidy z původního počtu lⁱ_(x) invalidů, nastoupivších důchod ve stáří x.

Nejprve stanovena tabulka hodnot lⁱ_(x) tak, že z počtu 20letých invalidů, tj. z čísla lⁱ₍₂₀₎, které zvoleno 100.000, stanovena

lⁱ₍₂₀₎₊₁, lⁱ₍₂₀₎₊₂, ...lⁱ₃₁, lⁱ₃₂, vztahy

lⁱ₍₂₀₎₊₁ = lⁱ₍₂₀₎ . sⁱ₍₂₀₎

lⁱ₍₂₀₎₊₂ = lⁱ₍₂₀₎₊₁ . sⁱ₍₂₀₎₊₁

lⁱ₃₁ = lⁱ_(20)+11 = lⁱ₍₂₀₎₊₁ . s_(20)+10

lⁱ₃₂ = lⁱ₃₁ . sⁱ₃₁

a dále

lⁱ_x+1 = lⁱ_x . sⁱ_x

Pro x > 20 a k< 10 stanovena pak čísla lⁱ_(x)+k z takto určených lⁱ_x vztahem

lⁱ_[x]+10 = lⁱ_x+11 1/sⁱ_(x)+10

lⁱ_[x]+k = lⁱ_(x)+k+1 1/sⁱ_(x)+k

Z čísel právě získaných napočítána

Dⁱ_(x) + = lⁱ_(x)+k . v^x+k

součty jejich

Nⁱ_(x)+k = E_kDⁱ_(x)+k

a stanoveno

aⁱ_(x)+k = Nⁱ_(x)+k/Dⁱ_(x)+k

Shoda čísel odvozených oběma methodami je úplná. Čísla aⁱ_x uvedena v tabulce č. 56.

Tabulka čís. 56.

Ježto pro výpočet nároků na invalidní důchod je nutno znáti aⁱ_(x+1/2) určena tato hodnota vztahem

aⁱ_(x+1/2) = ¹/₂(aⁱ_(x)+aⁱ_(x+n),

což v dalším označováno prostě aⁱ_x+1/2.

Vzhledem k měsíční výplatě důchodů, předepsané osnovou, nutno hodnoty aⁱ_x+1/2 opraviti takto:

ai(12)_x+1/2 = aⁱ_x+1/2 - 0,4648.

Základní čísla pro výpočet nároků x-letého pojištěnce na požitek důchodu po dobu trvání invalidity stanovena obvyklým způsobem:

D^ai_x = l^aa_x . i_x . v_x+1/2 . aⁱ⁽¹²⁾_x+1/2

N^ai_x = E D^ai_x

S^ai_x = E N^ai_x

a^ai_x N^ai_x/D^aa_x

§ 107 osnovy předpisuje pro nabytí nároku na všechny druhy důchodu čekací dobu 200 příspěvkových týdnů. Pro výpočet pojistného byl podle zkušeností říšskoněmeckých učiněn předpoklad, že pojištěnec získá průměrně v třídě A 42 příspěvkových týdnů do roka a v tř. B 44 týdnů, v tř. C 46 týdnů a v tř. D 48 týdnů; tento předpoklad vede průměrně ke čtyři a půlleté době čekací. Pro zjednodušení výpočtů počítáno se 4letou dobou čekací [Aby však bylo lze učiniti si obraz o nepatrném přeceněni závazků tím vznikajícím, proveden také výpočet pro čekací dobu 5 let. Z těchto výpočtů budiž uvedeno na př. že při čekací době 5 let obnáší pojistné za 100 Kč invalidního důchodu pro muže i ženy 6,291, při čekací době 4 roků 6.370.].

Pro stanovení nároků na základní částku důchodu invalidního "1" užito vzorce

4/a^ai_x = N^ai_x+4/D^aa_x

a pro stanovení hodnoty nároků x-letého pojištěnce na invalidní důchod po skončení čekací doby, který pak stoupá ročně o "1" nejdéle do dokonaného 65. roku věku podle vzorce

5/a^65ai_x = (S^ai_x+5 - S^ai₆₆)/D^aa_x

Všecky dosavadní vzorce odvozeny za předpokladu, že důchod invalidní přísluší pojištěnci bez ohledu na klausuli § 112, která váže přiznání důchodu starobního nejen na dokončení 65. roku života, nýbrž též na podmínku, že pojištěnec není již v zaměstnání povinně pojištěném.

Toto ustanovení má podstatný vliv na snížení pojistného, ježto snižuje jednak hodnotu nároku na starobní důchod, naproti tomu zvyšuje hodnotu pojistného, které ptati se podle § 160 po dobu, po kterou trvá zaměstnání povinně pojištěné.

Pro ocenění finančního účinku tohoto ustanovení jest nezbytná znalost frekvence, s jakou uplatňují pojištěnci nárok na starobní důchod, který jim bezpodmínečně přísluší.

Ježto zkušeností Všeobecného pensijního ústavu a náhradních ústavů v tomto směru nelze použíti pro nepatrný rozsah materiálu a jiný charakter jeho, byla ze zkušenosti říšskoněmeckých ústavů, sdělených v části všeobecné, konstruována čísla x, která udávají počet osob aktivních, jež zůstávají v zaměstnání podléhajícím pojistné povinnosti také po 65. roce.

Čísla tato byla zvolena velmi opatrně a úmyslně menší, nežli odpovídá říšskoněmeckým zkušenostem; a to z toho důvodu, že důchod starobní podle této osnovy rovná se důchodu invalidnímu, na rozdíl od příslušných ustanoveni říšskoněmeckých a dále, žena výši říšskoněmeckých čísel měly nesporně vliv mimořádné poměry doby válečné a poválečné, které nutily setrvati v zaměstnání pojistně povinném.

Tabulka čís. 57 obsahuje ve sloupci druhém čísla 100 y_x, udávající procenta osob nad 65. rok starých, které setrvávají v jednotlivých ročnících stáří ještě v zaměstnání pojistně povinném a ve sloupci třetím čísla 100 a_x, která udávají, kolik ze sta osob 65letých a nad 65 roků starých přihlašuje nárok na starobní důchod ve stáří x.

Tabulka č. 57.

Použitím těchto čísel a_x a y_x vyplývá jakožto hodnota aktivitního důchodu pro placení pojistného

(p)a^aa_x = 1/D^aa_x (N^aa_x - ⁷²E_k=65a_kN^aa_k)

Dále jest hodnota aktivního důchodu "1" pro výpočet základní částky starobního důchodu, tj. důchodu odloženého k stáří (65. nebo pozdějšímu)

v-xa^aa(p)_x = ⁷²E_k=65a_kN^aa_k/D^aa_x

Z těchto čísel lze odvoditi jednoduchou úpravou základní čísla pro výpočet hodnoty zvyšovacích částek starobního důchodu při odkladu přes 65. rok

a^aa(p)_x = (⁷E_k=0(66 + k - x) a_65+kN^aa_65+k)/D^aa_x

Konečně nutno odvoditi vzorec pro výpočet hodnoty zvyšovacích částí invalidního důchodu v případě odkladu uplatnění nároku na starobní důchod přes 65. rok stáří; příslušný vzorec jest po náležité úpravě

a^ai(p)_x = 1/D^aa_x(S^ai_x - S^ai₆₆ + ⁷E_k=0y_x-1+kN^ai_66+k)

Podle těchto vzorců počítána jsou čísla v tabulkách přílohy X, XII. a násl.

Postup početní v tomto oddílu popsaný a všechna základní čísla pro výpočet nároků na důchod invalidní a starobní, jsou obsaženy v tabulkách přílohy.

III. Početní podklady a základní čísla pojištění vdovských důchodů.

Propočítání nákladů pojištění pozůstalých působí značné obtíže, ježto podmínky pro přiznávání vdovského důchodu, obsažené v paragrafech 114, 115 - 117, jsou velmi komplikované, a ježto statistické podklady pro výpočet základních čísel a pojistných hodnot důchodů vdovských, vdoveckých a sirotčích nelze opatřiti si přímo ze zkušeností obdobného pojišťování v cizině.

Příčinou této nemožnosti jest, že kromě Německa není pojišťování vdovské prováděno v žádném jiném státě a pojišťování vdovských: důchodů v Německu vztahuje se pouze na dobu posledních 10 let, jichž abnormální průběh nedovoloval by ani použití čísel z nich odvozených pro doby průběhu normálního.

Mimo to nebyly zkušenosti říšskoněmecké v tomto oboru dosud zpracovány a jsou uveřejňovány ve formě, která jejich bezprostřední zpracování vylučuje.

Bylo tudíž nutno odvoditi ze sčítání lidu v Československé republice k 15. únoru 1921 nový materiál a vypomoci si materiálem z jiných pramenů. [Metoda použitá pro výpočet základních čísel jest obdobná metodě říšskoněmecké, použité v cit. pamětním spise z r. 1915.]

a) Pro výpočet pojistných hodnot jest v prvé řadě znáti koeficienty ž_x, které udávají pravděpodobnosti, že x-letý pojištěnec jest ženat. Tato čísla byla vypočtena z výsledků sčítání lidu z 15. února 1921 tak, že byla nejprve konstruována tabulka, udávající pro pětileté skupiny věkové počet ženatých mužů povolání podrobených pojištění.

Z čísel ž_x takto stanovených pro střední věk každé skupiny, stanovena pak grafickou interpolací čísla ž_x pro všechny věky čísla, užívaná doposud v rakouských osnovách sociálního pojištění a v zákoně o pensijním pojištění pro výpočet hodnot odbytného, byla volena ze sčítání soukromých zaměstnanců z roku 1896.

Tabulka čís. 58 ukazuje rozdílný průběh těchto dvou řad hodnot pro některé ročníky stáří a prokazuje, že použitím čísel ž_x rakouských byly by hodnoty nároků hlavně v nižších stářích značně podceněny.

Tabulka č. 58.

Z čísel ž_x, která jsou podrobně uvedena v tab. č. 59, jsou odvozena čísla M^ž_x udávající počet ženatých pojištěnců stáří x.

Tabulka čís. 59.

b) Druhý hlavní statistický podklad jest tabulka, udávající věkové rozvrstvení manželstev, a to tříděné podle věku manželek (y) i manželů (x).

Dvě v tomto oboru často užívané tabulky jsou: tabulka statistické kanceláře Durynských států ze sčítání lidu z roku 1880, jíž bylo užito pro výpočty odůvodnění říšskoněmeckého pojišťovacího řádu. Tabulka tato vztahuje se pouze na 135.182 párů, takže některé intervaly pětkové jsou slabě obsazeny a cena její jest hlavně časovou vzdáleností uvedena v pochybnost. Z anglického sčítání lidu z r. 1901 byla odvozena velmi cenná tabulka věkového rozvrstvení manželstev v Anglii a Walesu podle stáří, která byla též zpracována metodou korelace. Tabulka tato vztahuje se na 5,317.520 manželských párů a bylo by jí lze použíti, kdyby nebránila tomu úplná odlišnost populačních a jiných hospodářských poměrů v obou státech.

Vzhledem k tomuto nedostatku vhodného materiálu byla odvozena ze sčítání lidu v Československé republice přímým výčtem pro Velkou Prahu a pro župy I., II., III., IV., XIII., XIX. tabulka věkového rozdělení manželstev v pětiletých skupinách, otištěná zde pod čís. 60.

Rozsah materiálu tabulky je dostatečný, vztahuje se totiž tato statistická zkušenost na 746.551 manželských párů a také obsazení v jednotlivých pětiletých skupinách je uspokojivé.

Poučení o průběhu čísel této tabulky a srovnání s jinými zkušenostmi umožňuje také tabulka čís. 61.

Tabulka č. 60.

Věkové rozvrstvení manželstev ve Velké Praze a v župách I., II., III., IV., XIII., XIX., podle sčítání lidu z roku 1921.

Tabulka č. 61.

která udává pro některá stáří průměrný věk manželek dělníků. Z tabulky této jest patrno, že čísla Československé republiky blíží se číslům durynským, o 40 let starším, liší se však podstatně od čísel anglického sčítání. [Naprosto liší se čísla tato od obdobných čísel, odvozených ze zkušeností na soukromých úřednících, často pro podobné účely užívaných.]

Pro výpočty základních čísel je třeba dále znáti věkové rozvrstvení manželek pojištěnců, bez ohledu na věk mužův, tj. čísla V_y udávající, kolik pojištěnců jest ženato s y-letými manželkami. K stanovení těchto čísel zvolen tento postup: Označíme-li m_x,y počet manželstev, v nichž muž je stár mezi x - 2 až x + 2 roky a žena mezi y - 2 až y + 2 roky, udává

m_x(y) = E^y m_x,y

počet ženatých mužů ve stáří x - 2 až x + 2 bez ohledu na stáří manželky.

Označíme-li počet pojištěnců ženatých s y-letými manželkami, nebo, což je totéž, počet y-letých manželek pojištěnců V_y a počet manželek pojištěnců ve stáří y - 2 až y + 2 V_y, jest

V_y = V_y-2 + V_y-1... V_y+2

tato čísla V_y jsou dána vzorcem

V_y = E^x M^ž_x m_x,y/m_x(y)

a jsou, vypočtena v tabulce č. 62. Z těchto čísel odvozena grafickou interpolací čísla V_y, uvedená v tabulce čís. 63.

Tabulka č. 62.

Počet y-letých manželek pojištěnců lze roztříditi s ohledem na kontradiktorické pojmy: "pojištěním povinen" a "pojištěním nepovinen", "aktivní" a "invalidní" takto:

kdež značí:

Pro výpočet těchto složek jest dovoleno předpokládati, že čísla V^pa_y, tj. počet y-letých pojištěním povinných manželek pojištěnců, jest dán přímo ze sčítání lidu počtem y-letých vdaných žen zaměstnaných způsobem zakládajícím pojistnou povinnost.

Tabulka čís 63.

Čísla V^pa_y stanovena jsou z pětiletých skupin grafickou interpolací.

Čísla Vⁱ_y a čísla V^a_y stanovena jsou vzorci:

V^a_y = V_y l^aa_y/l_y, Vⁱ_y = V_y lⁱⁱ_y/l_y

kdež čísla l^aa_y, lⁱⁱ_y jsou vzata z řádu aktivnosti žen.

Z úměry

Vi(p)_y : V^i(np)_y = V^pa_y : V^npa_y,

jejíž přibližnou platnost lze oprávněně tvrditi, a ze vztahů:

V_y = V^p_y + V^np_y = V^a_y + Vⁱ_y

Vⁱ_y = Vi(p)_y + V^i(np)_y; V^np_y = Vⁱ_y + V^npa_y

V^i(p)_y = V^pa_y lⁱⁱ_y/l^aa_y; V^i(np)_y = V^npa_y lⁱⁱ_y/l^aa_y

lze odvoditi, jak jest provedeno v tabulce XIX. přílohy, úplné roztřídění manželek dělníků dle stáří, schopnosti výdělečné a pojistné povinnosti.

c) Konečně nutno znáti pro výpočet základních čísel vdovského nároku pravděpodobnosti v^np_y, že vdova, která jest při úmrtí muže y-let stará a pojištěním nepovinná, zůstane také v budoucnosti pojištěním nepovinou.

Tato čísla, jichž doplňky na jednotku uvedeny jsou ve výtahu již v části všeobecné (tabulka čís. 17), jsou převzata z nedostatku jiného matriálu z říšskoněmeckého pamětního spisu z roku 1915. [Čís. 144. Spisy říšského sněmu německého, 13. zákonodárná perioda, II. sezení 1914/15, přehled čís. 23.]

d) Základní čísla pojištění vdovského. Podle § 114 osnovy má nárok na vdovský důchod vdova pojištěnce, který v době svého úmrtí požíval důchodu invalidního nebo starobního, nebo měl nárok na takový důchod, když v době jeho úmrtí jest, anebo později se stane invalidní a to po dobu invalidity.

Nároku na důchod vdovský nemá vdova, bylo-li manželství uzavřeno v době, kdy pojištěnec požíval již důchodu invalidního nebo starobního.

Důchod vdovský činí polovinu důchodu, jehož požíval pojištěnec, nebo na nějž měl nárok; provdá-li se vdova znovu, obdrží jako odbytné trojnásobnou roční částku svého vdovského důchodu.

Zemře-li pojištěnec nebo důchodce, aniž došlo k vyplacení vdovského důchodu, ježto nejsou splněny podmínky pro nárok na důchod vdovský, mají pozůstalí nárok na od, bytné ve výši vdovského důchodu.

Pro y-letou manželku pojištěnce ze souboru V_y jest hodnota celého nároku při úmrtí mužově F_y dána výrazem

F_y = 1/V_y(V^i(np)_yaⁱ⁽¹²⁾_y + V^npa_yv^np_ya^ai_y + V_y^(p) + V^npa_y + V^pa_y).

Tímto vzorcem jest zatížení plynoucí z odbytného oceněno tím způsobem, že nehledí se na příklad na ustanovení, že súčtuje se vyplacené odbytné na důchod, nabude-li vdova vdovského důchodu v době 5 let od doby úmrtí pojištěncova (důchodcova).